Гипербола (формула)

Гипербола — это плоская кривая второго порядка, которую задают два луча (ветви), не пересекающиеся между собой. Её главная особенность: точка, движущаяся по гиперболе, находится на постоянной разности расстояний от двух фиксированных точек — фокусов. Кривая состоит из двух симметричных частей и никогда не касается своих асимптот — прямых, к которым она неограниченно приближается.

Термин уходит корнями в античную математику: слово пришло из греческого языка и означает «избыток, чрезмерность». Так кривую назвали по аналогии с параболой и эллипсом — тремя «коническими сечениями», которые изучали ещё древние геометры.

Каноническая формула гиперболы

В прямоугольной системе координат гиперболу записывают уравнением:

Здесь a — действительная полуось (расстояние от центра до вершины ветви вдоль оси Ox), b — мнимая полуось. Оба числа положительные. Фокусы лежат на оси Ox на расстоянии c от центра, которое находят по формуле:

Если поменять переменные местами, ветви развернутся вдоль оси Oy — такой случай называют «обратной» гиперболой.

Ключевые элементы и их формулы

Эксцентриситет показывает, насколько сильно кривая вытянута. Он всегда больше единицы:

Асимптоты — прямые, к которым ветви приближаются на бесконечности. Их уравнения:

Фокальное расстояние между фокусами равно 2c, а директрисы — прямые x = ± a ε .

Фокальные радиусы для правой ветви: r₁ = εx − a, r₂ = εx + a — их разность постоянна и равна 2a. Именно это свойство лежит в самом определении кривой.

Сопряжённая и равносторонняя гипербола

Две гиперболы с общими асимптотами называют сопряжёнными: у одной действительная ось горизонтальная, у другой — вертикальная. Их уравнения различаются знаком перед единицей:

Если a = b, кривая называется равнобочной (равносторонней). Её асимптоты взаимно перпендикулярны, а после поворота системы координат на угол 45° она принимает вид обратной пропорциональности:

Именно эту форму каждый встречал на уроках алгебры: график функции y = k x — классическая равнобочная гипербола.

Другие важные понятия

• Вершины — крайние точки ветвей, лежащие на действительной оси в точках (±a; 0).
• Центр — точка пересечения осей симметрии и асимптот, в каноническом виде это начало координат.
• Директрисы — прямые, связанные с эксцентриситетом: отношение расстояния от точки кривой до фокуса к расстоянию до ближайшей директрисы постоянно и равно ε.
• Хорда, проходящая через фокус перпендикулярно действительной оси, называется фокальной хордой; её длина равна 2b² a .

Где применяется

Гипербола — не только объект теории. Она описывает траектории тел в поле тяготения при определённых скоростях, форму сечения конуса плоскостью, линии равного времени запаздывания в навигации, а в акустике и оптике — кривые, на которых сводятся отражённые сигналы. В архитектуре и дизайне гиперболические поверхности ценят за сочетание прочности и выразительной формы.

Гипербола в языке

Стоит не путать математическую кривую с одноимённым термином из литературоведения. Там гипербола — это художественное преувеличение («сто лет не виделись», «море слёз»). Формулы здесь ни при чём: совпадает только слово, а смысл совершенно другой.